Python パラメータ設計/実験計画法

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実験計画法って何?
直交表を使った要因効果の測定
S/N比
直交表
サンプルプログラム

実験計画法って何? †

なんかのパラメータを調整したいときに使う方法
たとえば、ラーメンのスープの味を決めたいときに、どんな実験をしたらいいか
- P: 豚骨スープを {0 入れない| 1 入れる}
- Q: 魚介スープを {0 入れない| 1 入れる|
- R: 鶏ガラスープを {0 入れない| 1 入れる}
  
  →順列組み合わせ 2³ = 8 通り
  実験番号 P Q R
  1 0 0 0
  2 0 0 1
  3 0 1 0
  4 0 1 1
  5 1 0 0
  6 1 0 1
  7 1 1 0
  8 1 1 1
ここで直交表を使うと、実験の回数を半分に減らすことができる
実験番号 P Q R
1 0 0 0
2 0 1 1
3 1 0 1
4 1 1 0
- 4回の実験を通して、P豚骨、Q魚介、R鶏ガラ、を入れる回数は 2 回づつ
- 各実験は一次独立である (直交する)
- → パラメータの交互作用を無視して、独立であるとの仮定のもと実験回数を少なくしている
- → 交互作用を無視するのは残念な気がするけど L27 (13個のパラメータをそれぞれを3値で試す) の場合、順列組み合わせだと 3¹³=159万4323回の実験が必要なところを 27回の実験で済ますことができる

実験番号	P	Q	R
1	0	0	0
2	0	0	1
3	0	1	0
4	0	1	1
5	1	0	0
6	1	0	1
7	1	1	0
8	1	1	1

実験番号	P	Q	R
1	0	0	0
2	0	1	1
3	1	0	1
4	1	1	0

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直交表を使った要因効果の測定 †

スープのサンプルを作って、アンケート調査をしてみたらこうなったとする
実験番号 P(豚骨) Q(魚介) R(鶏ガラ) 得点
1 0 0 0 10
2 0 1 1 70
3 1 0 1 80
4 1 1 0 90
それぞれの要因の寄与度を p,q,r とし、基礎点を e とすると
$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \\ \end{bmatrix} + e = \begin{bmatrix} 10 \\ 70 \\ 80 \\ 90 \\ \end{bmatrix} \\ ie.\\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \\ e \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 70 \\ 80 \\ 90 \\ \end{bmatrix}$
これを最小自乗推定で解くと、それぞれの要因の寄与度は
p(豚骨) q(魚介) r(鶏ガラ) e
45.0 35.0 25.0 10.0
⇒豚骨の味への寄与度が一番大きい

実験番号	P(豚骨)	Q(魚介)	R(鶏ガラ)	得点
1	0	0	0	10
2	0	1	1	70
3	1	0	1	80
4	1	1	0	90

p(豚骨)	q(魚介)	r(鶏ガラ)	e
45.0	35.0	25.0	10.0

最小自乗推定しなくても、おのおののスープを入れた場合と入れなかった場合が 2 回あるので、それぞれのスープの寄与度は

p(豚骨)	q(魚介)	r(鶏ガラ)
45.0	35.0	25.0

P(豚骨)の効果 85-40 = 45
  P(豚骨)を入れない場合の得点   (10+70)/2 = 40
  P(豚骨)を入れた場合の得点     (80+90)/2 = 85
Q(魚介)の効果 80-45 = 35
  Q(魚介)を入れない場合の得点   (10+80)/2 = 45
  Q(魚介)を入れた場合の得点     (70+90)/2 = 80
R(鶏ガラ)の効果 80-45 = 25
  R(鶏ガラ)を入れない場合の得点 (10+90)/2 = 50
  R(鶏ガラ)を入れた場合の得点   (70+80)/2 = 75

というように求めることもできる

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S/N比 †

パラメータ設計では、投入した資源１単位あたりの利得で考える
例えば、スープの費用を考えて、費用 1 単位あたりの利得を考える
実験番号 P(豚骨) Q(魚介) R(鶏ガラ) 得点費用
1 0 0 0 10 100
2 0 1 1 70 200
3 1 0 1 80 300
4 1 1 0 90 300
とすると、
p(豚骨) q(魚介) r(鶏ガラ) e
味の評価(点) 45.0 35.0 25.0 10.0
費用 (円) 200 100 100 100
SN比 (点/円) 0.275 0.35 0.25 0.10
⇒ 投入費用あたりの味の評価点では、魚介が一番有効
工場の品質管理でよく使われるタグチメソッドでは、製品の性能と分散の関係を重要視するみたい
- A工場、B工場ともに、生産される製品の大部分は出荷基準は満たしている。そのうえで
  - A工場 : 平均して性能の高い製品を作ることができるが、分散が大きい
  - B工場 : 製造される製品の平均的な性能は A工場より劣るが、分散が小さい
- この場合に B 工場のほうが優秀な工場とみなす

実験番号	P(豚骨)	Q(魚介)	R(鶏ガラ)	得点	費用
1	0	0	0	10	100
2	0	1	1	70	200
3	1	0	1	80	300
4	1	1	0	90	300

	p(豚骨)	q(魚介)	r(鶏ガラ)	e
味の評価(点)	45.0	35.0	25.0	10.0
費用 (円)	200	100	100	100
SN比 (点/円)	0.275	0.35	0.25	0.10

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直交表 †

直交表は英語で Orthogonal array
元ネタはラテン方格という魔法陣グルグル
A B C
B C A
C A B
縦横でアルファベットが一つづつ登場するような魔法陣
近代のヨーロッパで、圃場（畑・牧場）で何を生産すればいいのかを決める実験をするとき、ラテン方格をもとに実験計画をたてると良いんじゃね？⇒直交表に発展
直交表の表し方
$L_n(q^m) = OA (n, m, q, t)$
- Lはラテン方格のL
- n : 大きさ、テスト回数
- m : 因子数 = テストデータの項目数
- q : 水準数 = テスト項目の値の種類
- t : 強さ = テスト項目の組み合わせ数
魔法陣なんで、なかなか実験に使える適当な直交表はない
- L₁₂(2¹¹)
- L₂₀(2²¹)
- L₂₄(2²⁵)
- L₄₄(2³⁵)
- L₆₀(2⁶¹)
- L₉(3⁴)
- L₂₇(3¹³)
- L₁₆(4⁵)
- L₆₄(4²¹)
- L₂₅(5⁶)
- L₅₀(5¹²)

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サンプルプログラム †

https://github.com/kagyuu/jupyter/blob/master/OrthogonalArray.ipynb

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